\chapter{1869年，廷德尔效应（Tyndall Effect）的原理与散射光强公式推导}
\author{李国斌}
\date{2025.08.31}
	
	\begin{abstract}
		廷德尔效应是光散射现象中一个重要的观测效应，当光束通过胶体或悬浮颗粒体系时，因发生散射而在侧面可见清晰光路。本文从经典电磁理论出发，基于瑞利散射（Rayleigh Scattering）原理，推导了廷德尔效应中散射光强度的数学表达式，并讨论了其与入射光波长、粒子尺寸以及观测角度等因素的关系。本文还通过\TeX{} 的 TikZ 包绘制了光散射示意图，以辅助理解散射过程的物理图像。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	廷德尔效应由英国物理学家约翰·廷德尔（John Tyndall）于19世纪发现并命名。该效应是区分胶体（Colloid）与真溶液（True Solution）的重要依据之一。从物理机制上看，廷德尔效应是由光受到介质中悬浮颗粒的散射（Scattering）所导致。当颗粒尺寸远小于入射光波长时，瑞利散射模型可较好地描述该现象。
	
	\section{瑞利散射的理论基础}
	瑞利散射适用于散射粒子尺寸远小于光波波长（通常要求粒子直径 $d \ll \lambda$，如气体分子、微小 aerosols 等）的情况。其基本假设是：
	\begin{itemize}
		\item 粒子为各向同性的小球形电介质；
		\item 粒子在电场中可视为一个偶极子，发生受迫振动；
		\item 忽略多次散射和其他相互作用。
	\end{itemize}
	
	设入射光为单色平面波，其电场表达式为：
	\[
	\mathbf{E_i} = \mathbf{E_0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}
	\]
	该电场使得颗粒中的电子发生受迫振动，从而形成一个振荡电偶极矩 $\mathbf{p}$：
	\[
	\mathbf{p} = \alpha \varepsilon_0 \mathbf{E_i}
	\]
	其中 $\alpha$ 为颗粒的极化率（Polarizability）。
	
	\section{散射光场的推导}
	一个振荡电偶极子会向外辐射电磁波。在远场区（$r \gg \lambda$），其辐射电场为：
	\[
	\mathbf{E_s} = \frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r} \sin\Theta \cdot e^{i(kr - \omega t)} \mathbf{p}_{\perp}
	\]
	其中 $\Theta$ 为散射方向与偶极矩方向的夹角，$\mathbf{p}_{\perp}$ 为偶极矩在垂直于散射方向上的分量。若只考虑数值大小，并代入 $\mathbf{p}$ 的表达式，可得：
	\[
	E_s = \frac{\mu_0 \omega^2 \alpha \varepsilon_0 E_0}{4\pi r} \sin\Theta \cdot e^{i(kr - \omega t)}
	\]
	利用关系式 $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$ 和 $k=\omega/c$，可化简为：
	\[
	E_s = \frac{\alpha k^2 E_0}{4\pi \varepsilon_0 r} \sin\Theta \cdot e^{i(kr - \omega t)}
	\]
	
	\section{散射光强的表达式}
	光强与电场振幅的平方成正比，即 $I \propto |E|^2$。因此，散射光强 $I_s$ 为：
	\[
	I_s \propto \left( \frac{\alpha k^2 E_0}{4\pi \varepsilon_0 r} \sin\Theta \right)^2 = \frac{\alpha^2 k^4 E_0^2}{(4\pi \varepsilon_0)^2 r^2} \sin^2\Theta
	\]
	注意到入射光强 $I_i \propto E_0^2$，且 $k = 2\pi/\lambda$，代入上式可得：
	\[
	I_s = I_i \cdot \frac{\alpha^2}{(4\pi \varepsilon_0)^2 r^2} \cdot \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^4 \cdot \sin^2\Theta = I_i \cdot \frac{16\pi^4 \alpha^2}{\varepsilon_0^2 \lambda^4 r^2} \cdot \sin^2\Theta
	\]
	
	\section{廷德尔效应的讨论}
	上述推导得到如下重要结论：
	\begin{enumerate}
		\item 散射光强与波长的四次方成反比（$I_s \propto \lambda^{-4}$）。这意味着短波光（如蓝光）比长波光（如红光）散射更强，这解释了天空的蓝色和夕阳的红色。
		\item 散射光强与粒子极化率的平方（$\alpha^2$）成正比。极化率与粒子体积、折射率等因素相关。
		\item 散射光强与观测距离的平方成反比（$I_s \propto r^{-2}$），符合能量守恒。
		\item 散射光强具有角分布特性，与 $\sin^2\Theta$ 成正比，即垂直于偶极振动的方向（$\Theta=90^\circ$）散射最强，而沿振动方向（$\Theta=0^\circ$ 或 $180^\circ$）无散射。
	\end{enumerate}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% 坐标轴
			\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x$};
			\draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[right] {$y$};
			\node at (0,0) [below left] {$O$};
			
			% 入射光
			\draw[red, thick, ->, decorate, decoration={snake, amplitude=1pt, segment length=8pt}] (-3,1.5) -- (-0.5,1.5) node[midway, above] {$\mathbf{k_i}$};
			\node at (-3.5,1.5) {入射光};
			
			% 散射粒子
			\filldraw[blue] (0,0) circle (0.08) node[below right] {散射粒子};
			
			% 散射光
			\foreach \angle in {30, 60, 90, 120, 150}
			{
				\draw[blue, ->, thick] (0,0) -- (\angle:2);
				\draw[green!50!black, decorate, decoration={snake, amplitude=0.7pt, segment length=6pt}] (0,0) -- (\angle:2);
				\node at (\angle:2.3) {$\mathbf{k_s}$};
			}
			
			% 标注角度Theta
			\draw (0:0.8) arc (0:60:0.8);
			\node at (30:0.6) {$\Theta$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{光散射示意图。红色波矢表示入射光，蓝色箭头表示散射光方向，$\Theta$ 为散射角。}
		\label{fig:scattering}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	本文从经典电动力学出发，推导了瑞利散射模型下廷德尔效应的散射光强公式：
	\[
	I_s = I_i \cdot \frac{16\pi^4 \alpha^2}{\varepsilon_0^2 \lambda^4 r^2} \cdot \sin^2\Theta
	\]
	该公式表明，散射光强强烈依赖于入射光波长和散射角，这与实验观测相符。廷德尔效应不仅是胶体化学中的重要现象，也是大气光学、遥感技术等领域的基础物理过程。
	